445章

“这是因为，从 1 到 p1p2 这 p1p2 个正整数中， p1， 2p1，...， p2p1 这 p2 个正整数跟 p1p2 有共同素因子 p1； p2， 2p2，...， p1p2 这 p1 个正整数跟 p1p2 有共同素因子 p2；其余全都跟 p1p2 互素。”

“由此，可以得到φp1p2为 p1p2 p2 p1，上述的推理可以无穷重复，进而表明素数有无穷多个。”

仅仅不到四五分钟的时间，程诺已经不停歇的说出三个利用新方向的证明法，让两位队友不禁大开眼界。

要这三个证明法都仅仅是欧里几得证明法的变种的话，两位顶多会认为程诺对欧里几得证明法研究颇深而已，倒升不起任何崇拜之意。

但三个证明法全部都不同于欧里几得那种整数乘起来再做点加减法的证明，而是另辟蹊径，分别利用“互素序列”、“素数分布”、“代数数论”三个完全不同的方向进行拓展。

程诺说出的三个证明法都不算太过复杂，甚至还可以说是简单的过分。

但越简单，越让两人吃惊不已。

对于一个命题的证明过程，无论是哪个数学家，都希望当然是越简单越好。

别看许多高大上的数学定理的证明过程都是无比复杂，但那群数学家们也不愿意这样啊！

还不是因为找不到更加简单的证明方法。

越简单，就越容易让人理解。但对于数学家的要求越高。

同一个定理，一个能用一页论文将其证明的数学家，比之要用五页论文才能将其证明的数学家，学术水平至少要高上一倍。

也因此，两人现在看待程诺的眼神，宛若是看待一只怪物。

这家伙……真的只是一个研究生？

本以为程诺的实力只是和他们两人在伯仲之间而已。如今感觉，就程诺现在表现出来的实力，在他们学校担任副教授都够格了吧！

“有水吗，有点口渴了。”在两人还是思索之际，程诺哑着嗓子问道。

“哦哦，我这里有水。”一人急忙将背包里的一瓶矿泉水递了过去。

“谢了。”

程诺咕咚咕咚喝了半瓶，等嗓子里那种不适感过去，道，“之前说到哪了，哦，我讲完第三个证明法了，下面说第四个。”

程诺忘了一眼在那握笔准备记录的队友道，“如果累了的话，可以让他帮你。”

说完，程诺便接着上面开始讲。

“第四个，利用解析数论的证明，这个方法和我上面用代数数论的证明方法有异曲同工之妙，你们都知道，欧拉乘积公式是：Σnns Πp1 ps1 s&nt; 1，左侧经解析延拓后，可变为解析数论中极重要的函数：黎曼ζ函数ζs。”

“对于 s 1，欧拉乘积公式的左侧是被称为调和级数的发散级数……”

程诺清了清嗓子，继续说，“上面这几个都是和数论有关的，下面我再说几个其他领域方向的证明方法。”

在两人瞠目结舌下，程诺娓娓说道，“第五个，可以利用组合证明的方法。证明的思路是这样的：任何正整数 N 都可写成 N rs2 的形式，其中 r 是不能被任何大于 1 的平方数整除的正整数， s2 则是所有平方数因子的乘积。假如素数只有 n 个，则在 r 的素数分解中……”

“呃，程诺，你能不能再讲一遍。”负责记录的那位学生挠挠头，略显尴尬的说道，“我刚才光顾得愣神，忘了记录了。”

程诺无奈的耸耸肩，“好吧，我再